Trasformata di Laplace

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Lo sformato di Laplace.

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Per quelli che non hanno il senso dell'umorismo, su Wikipedia è presente un articolo in proposito. Trasformata di Laplace
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~ Jean Baptiste Joseph Fourier su Trasformata di Laplace

~ Normale reazione di uno studente dinnanzi ad una Trasformata di Laplace

La Trasformata di Laplace è un operatore matematico lineare che trasforma qualcosa di difficile in qualcosa di estremamente complesso. Definita infatti una funzione f(t) nel dominio temporale, detto anche semplice, è possibile, mediante l'operatore di Laplace, passare ad una F(s) definita nel dominio complesso, detto anche della frequenza, che è di nome e di fatto molto più difficile. I matematici la usano infatti per sboroneria e vanagloria in maniera del tutto inutile.

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Articolo della Settimana
dal 7 febbraio 2011 al 14 febbraio 2011.

[modifica] Definizione

Data una funzione ƒ(t) definita sull'insieme dei numeri reali t ≥ 0, si definisce trasformata di ƒ la funzione F(s):

F(s) = \mathcal{L} \left\{f\right\}(s) =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt.

essendo e una congiunzione ed il parametro s un numero complesso, quindi difficile da spiegare:

s = \sigma + i \omega, \,

con σ e ω lettere greche e i un numero immaginario che non esiste veramente ma è solo frutto della vostra percezione malata.

Sebbene ad una prima occhiata tutto questo procedimento potrebbe sembrare alquanto complesso, in realtà lo è davvero. Questo oggetto matematico ha numerose proprietà, molto importanti nelle applicazioni fisiche o ingegneristiche, ma anche in cucina e in podologia; infatti un integrale e una derivata nel dominio temporale diventano una divisione e una moltiplicazione nel dominio complesso, i coni diventano piramidi, i cilindri diventano sfere e il rame diventa oro. Anche nell'analisi dei sistemi dinamici la Trasformata di Laplace è fondamentale poiché, mediante il prodotto di convoluzione tra una forzante impulsiva unitaria ed il suo segnale di ingresso, si possono rivelare importanti informazioni, come ad esempio la risposta del sistema alle bestemmie che gli lanci contro.

La trasformata di Laplace è strettamente legata alla trasformata di Fourier e alla trasformata zeta. In particolare, la trasformata di Fourier può essere vista come caso particolare della trasformata di Laplace ponendo s = i ω, ma solo a condizione che l'asse
Pam anderson358.jpg

Tipico esempio di trasformata di Laplace utilizzata congruamente.

immaginario del piano s sia stato disegnato dritto. Altre condizioni di uguaglianza sono:
  1. Allineamento di Marte e Saturno;
  2. Ti trovi coi conti.

[modifica] Anti-Trasformata di Laplace

L'Anti-Trasformata di Laplace è un integrale complesso detto di Bromwich o di Bromwich-Mellin o di Riemmann-Fourier o di Martufello-Van Basten o come caspita vogliate chiamarlo; siccome è un integrale complesso, nessuno è riuscito ancora a risolverlo. Si sa comunque che una funzione F(s) ammette una trasformata inversa solo quando la corrispondente anti-trasformata ƒ(t) è almeno continua a tratti e che in quei tratti continui sia consentito cambiare corsia.

[modifica] Principali proprietà

[modifica] Linearità

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Ottima per chi deve mantenere la silhouette.

[modifica] Derivata

Mozzarella di bufala.jpg

Trasformata di Laplace derivata del latte.

\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0^+) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^+)

Ottima per derivare qualcosa da qualcos'altro. Particolarmente utile nel settore caseario.

[modifica] Integrale

\mathcal{L}\left\{ \int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f(t)\}

Ottima per integrare i sali minerali dopo onerosi sforzi fisici. Applicazioni nel settore dolciario e nella produzione di pasta e pane.

[modifica] Traslazione nel tempo

De Lorean DMC12.jpg

Operatore di Laplace. Traslazione nel tempo.

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)

Dove u(t) è la funzione gradino o funzione gradino di Heaviside o funzione attento al gradino. Tali equazioni sono necessarie a comprendere il funzionamento delle macchine del tempo.

[modifica] Funzione periodica di periodo p

\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

Una funzione che si presenta periodicamente alla porta, come i Testimoni di Geova.

[modifica] Funzioni notevoli

\mathcal{L}\{\,\mathrm{sen}h(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}
\mathcal{L}\{\,\cosh(at)\} = \frac {s}{s^2 - a^2}
Calcolotetta.jpg

Classico esempio di seno iperbolico.

\mathcal{L}\{\,J_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}
  • Funzione di Bessel modificata secondo Riccati e Whittaker, con qualche aggiunta della suocera
\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}

Divertentissimo (ma anche no) verificare anche come tali funzioni si possano ricavare direttamente dalle funzioni di Whittaker o anche dalle Funzioni paraboliche del cilindro ma anche da un qualsiasi manuale di cucina.

[modifica] Esempi applicativi

[modifica] Risoluzione di una equazione differenziale

Esplosione1.jpg

Tipica reazione dello studente medio quando un esercizio svolto col metodo di Laplace dà esito negativo.

Si consideri l'equazione differenziale lineare del primo ordine:

\frac{dN}{dt} = -\lambda N.

Questa equazione è la relazione fondamentale che descrive il decadimento radioattivo di un operaio di Chernobyl, dove

 N \ = \ N(t)

rappresenta il numero di grumi formati dalle cellule tumorali dell'operaio calcolati al tempo t, mentre \ \lambda è la costante di decadimento, che può essere trovata su una qualsiasi confezione di pasta Barilla.

La trasformata di Laplace può essere usata per risolvere questa equazione. Riscrivendo l'equazione da una parte si ha:

\frac{dN}{dt} +  \lambda N  =  0

trasformando entrambi i membri:

 ( s \tilde{N}(s) - N_o  ) + \lambda \tilde{N}(s) \ = \ 0

dove

\tilde{N}(s) = \mathcal{L}{\{N(t)\}}

e

N_o \ = \ N(0).

Risolvendo si trova

\tilde{N}(s) = { N_o \over s + \lambda  }.

Tutto questo non serve a nulla se alla fine non si antitrasforma per trovare la soluzione generale e mandare in confusione tutti quanti:

 N(t) \ = \ N_o e^{-\lambda t}

che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo. In pratica, per t che tende ad infinito si ottiene il tempo in cui tale operaio morirà o muterà geneticamente in qualcosa di orribile.

[modifica] Voci correlate

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