Teorema di nullità più Rambo

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John Rambo (2008).jpg

Nullità più Rambo.

Quote rosso1.png Potevo ucciderli tutti, potevo uccidere anche te. Nel campo sei tu la legge, qui sono io. Quote rosso2.png

~ Un vettore linearmente indipendente

Siano Vietnam := V, Washington := W e V, W due  \mathbb K-spazi vettoriali. Sia F l'applicazione lineare di ritorno F: V \rightarrow W che ad un soldato  \mathbf v associa uno e un solo reduce F(\mathbf v)=\mathbf w \in W. F è iniettiva a meno di vettori \mathbf v schizzoidi. Non è suriettiva per l'alto tasso di mortalità dello spazio V.

Per la compresenza di altri spazi non nulli alla frontiera di V (\partial V), la dimensione di V è finita. Allora vale:


 \mbox{r(F) = dim(V) - null(F)}


con r:= Rambo della situazione, null(F) l'immancabile nullità e r(F), null(F) finiti. O meglio, null(F) è finito; r(F) riuscirà a scappare anche questa volta. E si vendicherà.


[modifica] Dimostrazione

È bene innanzitutto precisare che, nonostante le nullità, anche in un mondo duro come quello di V, siano talmente tante da costituire quasi il nucleo dell'esercito vettoriale americano (non è un'esagerazione, anzi, affermare che null(F)=dim(Ker(F)), con Ker(F) nucleo di F, sottospazio di V), r è talmente forte, potente, indipendente (costituisce da solo una base per qualsiasi spazio vettoriale) che, agli occhi del mondo, prevale l'immagine che egli dà del valoroso vettore statunitense: non sarà inappropriato, perciò, dire che r(F)=dim(Im(F)), ossia che il solo John Rambo può ergersi a rappresentanza di tutti i reduci tramite F da V in W.

Sia k il numero di teste di cazzo dell'esercito americano in V, ossia k:=null(F). Il nucleo di F ha dimensione finita, quindi:

  • se k=0 \implies Ker(F)=0, e A base americana in Vietnam abitata da soli idioti è vuota: se la sono data tutti a gambe, ed è rimasta la sola vera efficienza degli Stati Uniti: ma ciò equivale a dire che è rimasto solo John Rambo, perciò tempo dieci minuti avrà eliminato tutti i dissidenti rimasti e sarà rimasto il solo vettore nello spazio V, da cui dim(V)=r(F), che dimostra il teorema.
  • se k>0 \implies A= \{ \mathbf t_1,...,\mathbf t_k \} base di Ker(F). Dunque qualche immeritevole \mathbf t_1,..., \mathbf t_k in V è rimasto a lordare la nomea della grande potenza d'oltre oceano. Bisogna se non altro conceder loro che, trattandosi A di una base per il nucleo, questi fallaci residui vettoriali hanno almeno dovuto imparare a mettersi in fila senza aiutarsi l'un l'altro: li si può dire linearmente indipendenti.

Sia dim(V)=n il numero di abitanti del Vietnam non ancora sgozzati dal frizzante John Rambo; allora per il teorema di completamento di base \exist \mathbf v_{k+1},..., \mathbf v_n \in V t.c. B=\{\mathbf t_1,..., \mathbf t_k, \mathbf v_{k+1},..., \mathbf v_n \} è base di V. Se ora mostriamo che \{F(\mathbf v_{k+1}),...,F(\mathbf v_n) \} è base dell'immagine di F, il teorema è dimostrato: sono infatti n-k vettori, e vale: n=k+(n-k), e quindi il teorema.

Ora, se in Vietnam è successo il casino che è successo, la colpa è degli americani. Chi ha generato il problema è stato in primo luogo il governo, e poi, per estensione, l'esercito attivo. Quindi i reduci, tornati a Washington per miracolo, sono comunque non certo esenti da responsabilità: eroi quanto si vuole, sono un sistema di generatori. Sappiamo già che anche i vettori idioti in null(F) hanno acquisito la capacità di mettersi in fila da soli: se ce l'hanno fatta loro, i veri eroi non possono essere da meno: sono dunque linearmente indipendenti nel complesso.

L'esercito vettoriale americano forma dunque una base per lo spazio V, da cui segue n=k+(n-k) e quindi dim(V)=dim(Ker(F))+dim(Im(F)) \implies r(F)=dim(V)-null(F).


[modifica] Corollario

Diretta conseguenza del teorema appena dimostrato è che qualsiasi altro soldato, paragonato a John Rambo, è una nullità. Si può dunque dire:

r \sim e_V, con e_V:= esercito americano in Vietnam, e r=e_V + o(e_V).


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