Teorema di densità degli ingegneri

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Ci sono troppi ingegneri, ormai è un'emergenza nazionale. Purtroppo, però, anche un tempestivo intervento delle autorità competenti sarebbe del tutto vano, giacché vale il seguente

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Eeeeee matite nel naso.jpg

Un ingegnere affascinato dalla densità delle matite.

Definizione 1: Si definisce ingegnere in potenza, e si indica con i_p, un essere umano dotato delle conoscenze matematiche di un cucchiaino da e che rispetti le seguenti condizioni:

  • \exists x \in X = \forall x \in X
  • Il grado di verità di una frase dipende da quanto materiale serve per costruire un esempio, che comunque si costruisce solo se può avere un utilizzo pratico.
  • Un'equazione di grado n ha un certo numero di soluzioni, tutte considerabili più o meno intere.

Si indica con I_c l'insieme degli ingegneri in potenza di un centro abitato c. Appare altresì evidente che I_c \ne \emptyset sempre, giacché \emptyset \in I_c.

Definizione 2: Si definisce partizione non palese di un centro abitato c, e si indica con P_{np}, un qualsiasi insieme di persone la cui cardinalità non sia evidente al primo sguardo.

Lemma 1: I_c \subseteq P_{np} se P_{np} \ne \emptyset

Dimostrazione: Sia per assurdo i_p^* \in I_p \setminus P_{np}. Consideriamo ora l'insieme I_c^{n} = \{i_p^*,i_1,i_2,...,i_n\} \subseteq I_c , con i_j \in I_p, j=1,...,n. Se ora I_c^n \subseteq P_{np}, allora i_p^* \in P_{np} contro le ipotesi. Se I_c^n \nsubseteq P_{np}, considero I_c^{n+1}=\{i_p^*,i_1,...,1_n,i_{n+1}\}. Se ora I_p^{n+1} \subseteq P_{np} \implies i_p^* \in P_{np}, assurdo, altrimenti si considera I_c^{n+2}=\{i_p^*,i_1,...,i_{n+1},i_{n+2}\} e si ragiona in modo analogo. CVD.

Lemma 2: Se P_{nc} \ne \emptyset, \exists p \in I_c .

Dimostrazione: P_{np} \ne \emptyset \implies \exists p \in P_{np}. In particolare p \in P_{np} \cup I_c = P_{np} per il Lemma 1. Ora, se \forall p \in P_{np}, p \in P_{np} \setminus I_c, allora sarebbe I_p \cap P_{np} = \emptyset \implies P_{np}=\emptyset perché per definizione I_c \ne \emptyset, ma questo è assurdo perché P_{np}\ne\emptyset per ipotesi. Allora \exists p \in P_{np} \cap I_c, ed in particolare P_{np}\cap I_c \ne \emptyset. CVD.

Definizione 3: Si definisce fermata della metropolitana, e si indica con F_m, una famiglia di insiemi di punti di accumulazione per un sottoinsieme non vuoto S \subseteq P_{np}.

Proposizione 1: F_m è sia aperto che chiuso.

Dimostrazione: Com'è noto, il sottoinsieme di cardinalità maggiore contenuto in un insieme finito dato è l'insieme stesso: sia dunque max (F_m) = \{X \in F_m : |X|= max |X_i|, i = 0,...,|F_m|\} l'insieme di cardinalità massima in F_m. È immediato osservare che tale insieme sarà proprio F_m, per le ragioni sopraesposte. Siccome da ogni copertura aperta di F_m si può estrarre una sottocopertura finita per le proprietà della piastrellatura metropolitana, F_m è compatto. Dunque per il teorema di Heine-Cantor la funzione "orario di esercizio" o : [06.30, 02.30] \rightarrow F_m è uniformemente continua. Dunque per il teorema di Weierstrass \exists t_m \in dom(o) : o(t)=max(F_m)=F_m. Siccome quando o(t)=F_m c'è un tale casino che F_m = F_m^o, F_m è aperto. Ma per costruzione cittadina anche F_m^c è aperto; ne segue che F_m è sia aperto che chiuso. CVD.

Quattro ingegneri.jpg

Un team di ingegneri cerca di risolvere un'equazione di secondo grado.

Proposizione 2: Se F_m aperto, \exists P_{np} \in F_m

Dimostrazione: Nella dimostrazione della Proposizione 1 abbiamo già avuto modo di definire la funzione o:[06.30,02.30] \rightarrow F_m che ammette massimo F_m al tempo t_m quando F_m è aperto. Siccome F_m è compatto, allora è chiuso e limitato, perciò o è monotona. Nel momento t_m, max(o)=F_m, ogni elemento di F_m è di accumulazione. Ma per definizione di F_m gli elementi stessi sono insiemi di punti di accumulazione, quindi nel momento t_m la situazione in F_m diventa quasi insostenibile, e, ad uno sguardo disperato, emerge P_{np} \in F_m. CVD.

Definizione 4: Si definisce ingegnere, e si indica con i_a, un ingegnere in potenza con una laurea in Ingegneria. Un ingegnere continua a non sapere la matematica e a credere che la caratteristica di un anello sia la quantità del materiale di cui esso è fatto, ma è dotato di un attestato che certifica l'esistenza di un isomorfismo tra se stesso e il succitato cucchiaino da tè. Pur ignorando, naturalmente, cosa sia un isomorfismo. Si indica con I l'insieme di tutti gli ingegneri, e vale per definizione I \subset I_p.

Teorema (debole) di densità: \forall P_{np} \in F_m, \exists i_a \in P_{np}

Dimostrazione:Basta mostrare che \exists i_a \in P_{np}. Fatto questo, il teorema è dimostrato, perché allora, per la Proposizione 2, segue la tesi.

Costruiamo dunque un ingegnere in una qualsiasi partizione non palese. Sia i_p^k \in I_p. Per il Lemma 1 i_p^k \in P_{np}. Si noti che l'unica differenza tra i_p ed i_a è il \Delta t necessario per conseguire l'attestato cartaceo c. Esiste una corrispondenza biunivoca tra \Delta t e c, data dall'isomorfismo laurea l: T \rightarrow C : l(\Delta t) = c. Componendo  o  \circ l^{-1}, con l ristretta a [06:30,02:30] \subset T, otteniamo un'applicazione che localizza un ingegnere i_a con la F_m nella quale esso è contenuto se F_m è aperto. Allora (o \circ l^{-1})(i_p^k) \in F_m. Ma per la Proposizione 2, siccome F_m è aperto, \exists P_{np} \in F_m. Ora, i_p^k \in I \subset I_p. Per il Lemma 2 i_p^k \in P_{np} \cap I_p, e in particolare la tesi. CVD.

Sia P l'insieme di tutte le persone. Vale il seguente

Teorema (forte) di densità: L'insieme I degli ingegneri è denso in P.

Dimostrazione: Il teorema di densità debole garantisce la densità di I in P_{np}. Osserviamo che la densità dipende dal comportamento della funzione o. Studiamone il comportamento agli estremi del dominio:

  •  \lim_{t \to 06.30}o(t) = 0
  • \lim_{t \to 02.30}o(t) = 0

essendo F_m aperta sul dominio di o e chiusa fuori di esso. Per il principio di conservazione del corpo della gente, devono esistere \varepsilon \in T, \varepsilon > 0 : \forall [06.30 - \varepsilon, 06.30[ e \delta \in T, \delta > 0: \forall ]02.30, 02.30 + \delta] P_{np} si conserva in un intorno sinistro (rispettivamente destro) di 06.30 e 02.30. Applicando un analogo ragionamento a tutti gli intervalli [k_0, 06.30 - \varepsilon], [k_1, k_0],..., [k_j, k_{j-1}] per k > 0 \in \mathbb{Z} opportuno, e rispettivamente [02.30 + \delta, h_0],...,[h_i,h_{i+1}] per i > 0 \in \mathbb{Z} si ha la densità di I in P_{np} \notin F_m, e, quindi, in P. Il continuo flusso di ogni P_{np} verso l'esterno di F_m, necessario per definizione al corretto funzionamento di una fermata della metropolitana, garantisce l'estendibilità del ragionamento anche in P nel mentre dell'orario di esercizio o. CVD.

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